·北京· 普通高中教科书 数学 必 修 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 编著 第一册 普通高中教科书 数学 必修 第一册 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 编著 出 版 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081） 网 址 重 印 ××× 出版社 发 行 ××× 新华书店 印 刷 ××× 印刷厂 版 次 年 月第 版 印 次 年 月第 次印刷 开 本 890 毫米 ×1240 毫米 1/16 印 张 插 页 字 数 千字 印 数 册 书 号 ISBN 978-7-107- - 定 价 元 定价批号：× ×号 审图号：GS（× × × × ） × × × ×号 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台： 如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 ××× 联系调换。电话：× × × -× × × × × × × × 主 编：章建跃 李增沪 副 主 编：李 勇 李海东 李龙才 本册主编：李海东 郭玉峰 编写人员：王 嵘 白 涛 刘长明 刘春艳 李柏青 宋莉莉 张劲松 周远方 赵 昕 胡永建 俞求是 郭玉峰 郭慧清 黄炳锋 章建跃 薛红霞 责任编辑：王 嵘 美术编辑：王俊宏 书 书 书 主编寄语 亲爱的同学，欢迎使用这套教科书，希望它能成为你学习数学的好帮手．在开始学习 前，我们想就数学学习中的一些问题与你做点交流． 首先，你想过为什么要学那么多数学吗？高中生应该认真思考这个问题了．其实道理 很明显，就是因为数学有用．数学不仅对社会发展和科技进步作用巨大，而且对你个人的 发展也很重要．努力学好数学对你的人生幸福意义重大，这个道理在你今后学习、工作和 生活中会逐步体会到． 第二，要采用多样化学习方式．高中数学内容的抽象程度提高了，要以更加积极主动 的态度、刻苦钻研的精神，采取阅读自学、独立思考、实践探究、合作交流等多种学习方 式，才能更好地掌握它．内容越抽象，就越需要静下心来，持之以恒地思考，然后才能有 所领悟、有所收获． 第三，注重基础，拾阶而上．数学的特点是逻辑严谨，从概念到性质再到应用环环相 扣，前面知识未理解，后续学习就必然会遇上实质性困难．学数学，既没有捷径，也没有 灵丹妙药，唯有按数学的方式，按部就班地学，循序渐进地想，在基础知识上下足功夫， 才能取得好成效． 第四，按学习规律办事．理解概念、熟练技能和准确表达是数学学习的“三要素” ， 做好这些的要诀是遵循学习规律，掌握学习节奏．概念是数学的精要所在，必须深刻理 解、牢固掌握，因此概念学习要“慢慢来”．例如，函数是贯穿高中数学的一条主线，是 重中之重的内容，因为其抽象程度高而成为许多同学的学习难点．在起始阶段囫囵吞枣、 贪多求快，就会给后续学习埋下隐患．学好它的秘诀在于慢，慢下来，仔细阅读教科书， 用心揣摩每句话，搞懂每个例题，在探究、质疑、反思中逐渐领悟函数的概念及其蕴含的 数学思想和方法，并用简明扼要的语言概括出来，从而实现认识的升华．这个过程，貌似 慢而实为快，在反复推敲中悟出学习窍门，达到举一反三、触类旁通的效果，进而一通百 通，由慢转快．这样的快是真快，是无后顾之忧的快，是充满智慧的快． 第五，重视严格的数学训练，独立完成作业．做作业的目的是：加深理解知识，熟练 基本技能；学会思考，培养数学能力；查漏补缺，培养良好的学习习惯．本套书中的习题 是精心挑选的，看似不难但寓意深刻，要高度重视．完成作业，独立思考最重要，遇到困 难不能轻言放弃．有含金量的数学题往往要绞尽脑汁，一时做不出很正常，如果浅尝辄 止，急于“刷题”看答案，这是自欺欺人，受害的是你自己． 最后，学习贵在创新．理解概念、学会证明、领会思想、掌握方法都是必备基础，还 要善于发现和提出问题，“凡事问个为什么” ，这样才能学会学习．在这套教科书中，我们 注重在提问方面做出示范，期望你能“看过问题三百个，不会解题也会问”． 学数学趁年轻．高中阶段是接受数学训练、打好数学基础的最佳时期．这个时期下功夫学 数学，将使你终生受益．期盼这套教科书能给你带来愉快，使你的数学素养得到大幅提升． 本书根据《普通高中数学课程标准（２ ０ １ ７年版》编写，包括“集合与常用逻辑用语” “一元二次函数、方程和不等式”“函数的概念与性质”“指数函数与对数函数”“三角函 数”五章内容． 集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础；常用逻辑用语是数学语言的 重要组成部分，是数学表达和交流的工具．在“集合与常用逻辑用语”的学习中，同学们 将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法；并学习用逻 辑用语表达数学对象、进行数学推理，为高中数学学习做准备． 相等关系和不等式关系是数学中最基本的数量关系．在“一元二次函数、方程和不等 式”的学习中，同学们将类比等式学习不等式．通过梳理初中数学的相关内容，理解一元 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系，从函数观点认识方程与不等式， 感悟数学知识之间的关联，完成初高中数学学习的过渡． 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的 始终．在“函数的概念与性质”中，同学们将在初中的基础上，进一步学习运用集合与对 应的语言刻画函数概念，学习函数的基本性质，并通过幂函数的学习感受如何研究一个函 数，如研究的内容、思路和方法，进一步感受函数的思想方法和广泛应用． “指数爆炸”“对数增长”是生活中常见的变化现象．在“指数函数与对数函数”中， 同学们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数与对数函数的概念、图象和性质．通过对 几类基本初等函数的变化差异的比较，体会如何根据变化差异选择合适的函数类型构建数 学模型，刻画现实问题的变化规律，解决简单的实际问题． 三角函数也是一类基本的、重要的函数，它是刻画现实世界中具有周期性变化现象的 数学模型．在“三角函数”的学习中，同学们将学习借助单位圆建立一般三角函数的概 念，学习三角函数的图象和性质，探索和研究三角函数之间的一些恒等关系．通过建立三 角函数模型刻画周期变化现象，进一步体会函数的广泛应用． 祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核 心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的 认识． 第一章 集合与常用逻辑用语１………………………………………………………………… １ ．１ 集合的概念 ２………………………………………………………………………… １ ．２ 集合间的基本关系 ７………………………………………………………………… １ ．３ 集合的基本运算 １ ０…………………………………………………………………… 阅读与思考 集合中元素的个数１ ５………………………………………………… １ ．４ 充分条件与必要条件 １ ７……………………………………………………………… １ ．５ 全称量词与存在量词 ２ ４……………………………………………………………… 阅读与思考 几何命题与充分条件、必要条件３ １………………………………… 小结３ ３……………………………………………………………………………………… 复习参考题１３ ４…………………………………………………………………………… 第二章 一元二次函数、方程和不等式３ ６…………………………………………………… ２ ．１ 等式性质与不等式性质 ３ ７…………………………………………………………… ２ ．２ 基本不等式 ４ ４………………………………………………………………………… ２ ．３ 二次函数与一元二次方程、不等式 ５ ０……………………………………………… 小结５ ６……………………………………………………………………………………… 复习参考题２５ ７…………………………………………………………………………… 第三章 函数的概念与性质５ ９………………………………………………………………… ３ ．１ 函数的概念及其表示 ６ ０……………………………………………………………… 阅读与思考 函数概念的发展历程７ ５……………………………………………… ３ ．２ 函数的基本性质 ７ ６…………………………………………………………………… 信息技术应用 用计算机绘制函数图象８ ７………………………………………… ３ ．３ 幂函数 ８ ９……………………………………………………………………………… 探究与发现 探究函数狔＝狓＋１ 狓的图象与性质 ９ ２……………………………… ３ ．４ 函数的应用 （一）９ ３………………………………………………………………… 文献阅读与数学写作 函数的形成与发展９ ７………………………………………… 小结９ ９……………………………………………………………………………………… 复习参考题３１ ０ ０…………………………………………………………………………… 第四章 指数函数与对数函数１ ０ ３……………………………………………………………… ４ ．１ 指数 １ ０ ４……………………………………………………………………………… ４ ．２ 指数函数 １ １ １………………………………………………………………………… 阅读与思考 放射性物质的衰减１ １ ５……………………………………………… 信息技术应用 探究指数函数的性质１ ２ ０………………………………………… ４ ．３ 对数 １ ２ ２……………………………………………………………………………… 阅读与思考 对数的发明１ ２ ８……………………………………………………… ４ ．４ 对数函数 １ ３ ０………………………………………………………………………… 探究与发现 互为反函数的两个函数图象间的关系１ ３ ５…………………………… ４ ．５ 函数的应用 （二）１ ４ ２……………………………………………………………… 阅读与思考 中外历史上的方程求解１ ４ ７………………………………………… 文献阅读与数学写作 对数概念的形成与发展１ ５ ７…………………………………… 小结１ ５ ８……………………………………………………………………………………… 复习参考题４１ ５ ９…………………………………………………………………………… 数学建模 建立函数模型解决实际问题１ ６ ２…………………………………………………… 第五章 三角函数１ ６ ７…………………………………………………………………………… ５ ．１ 任意角和弧度制 １ ６ ８………………………………………………………………… ５ ．２ 三角函数的概念 １ ７ ７………………………………………………………………… 阅读与思考 三角学与天文学１ ８ ６………………………………………………… ５ ．３ 诱导公式 １ ８ ８………………………………………………………………………… ５ ．４ 三角函数的图象与性质 １ ９ ６………………………………………………………… 探究与发现 函数狔＝犃ｓ ｉ ｎ（ω狓＋φ）及函数狔＝犃ｃ ｏ ｓ（ω狓＋φ）的周期２ ０ ３…… 探究与发现 利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质２ ０ ８………… ５ ．５ 三角恒等变换 ２ １ ５…………………………………………………………………… 信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表２ ２ ４……………………………… ５ ．６ 函数狔＝犃ｓ ｉ ｎ（ ω狓＋φ） ２ ３ １………………………………………………………… ５ ．７ 三角函数的应用 ２ ４ ２………………………………………………………………… 阅读与思考 振幅、周期、频率、相位２ ５ ０……………………………………… 小结２ ５ １……………………………………………………………………………………… 复习参考题５２ ５ ３…………………………………………………………………………… 部分中英文词汇索引２ ５ ８………………………………………………………………………… 书 书 书 第一章 集合与常用逻辑用语 我们知道，方程狓２＝２在有理数范围内无解，但在实数范围 内有解．在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个 圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球 面．因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基 础．为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用 集合的语言和工具．事实上，集合的知识是现代数学的基础，也 是高中数学的基础，在后面各章的学习中将越来越多地应用它． 在本章，我们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合 语言刻画一类事物的方法． 逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的 工具．学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、 合理论证数学结论、准确表达数学内容．逻辑用语也是日常交 往、学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位 公民应具备的基本素养．本章我们将通过常用逻辑用语的学习， 理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻 辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合 和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性． 第一章 集合与常用逻辑用语 １ １ 集合的概念 在小学和初中，我们已经接触过一些集合．例如，自然 数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集 合（即圆）等．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一 步了解集合的有关知识．下面先从集合的含义开始． 看下面的例子： （１）１～１ ０之间的所有偶数； （２）立德中学今年入学的全体高一学生； （３）所有的正方形； （４）到直线犾的距离等于定长犱的所有点； （５）方程狓２－３狓＋２＝０的所有实数根； （６）地球上的四大洋． 例（１）中，我们把１～１ ０之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集 合；同样地，例（２）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的 全体也是一个集合． 上面的例（３）到例（６）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？ 一般地，我们把研究对象统称为元素（ｅ ｌ ｅｍｅ ｎ ｔ） ，把一些元素组成的总体叫做集合 （ｓ ｅ ｔ）（简称为集）． 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或 不在这个集合中就确定了．例如，“１～１ ０之间的所有偶数”构成一个集合，２，４，６，８， １ ０是这个集合的元素，１，３，５，７，９，…不是它的元素；“较小的数”不能构成集合， 因为组成它的元素是不确定的． 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 我们通常用大写拉丁字母犃，犅，犆，…表示集合，用小写拉丁字母犪，犫，犮，…表 示集合中的元素． 如果犪是集合犃的元素，就说犪属于（ｂ ｅ ｌ ｏ ｎ ｇｔ ｏ）集合犃，记作犪∈犃；如果犪不是 集合犃中的元素，就说犪不属于（ｎ ｏ ｔｂ ｅ ｌ ｏ ｎ ｇｔ ｏ）集合犃，记作犪犃． ２ 第一章 集合与常用逻辑用语 例如，若用犃表示前面例（１）中“１～１ ０之间的所有偶数”组成的集合，则有 ４∈犃，３犃，等等． 数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集） ，记作犖； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作犖或犖＋； 全体整数组成的集合称为整数集，记作犣； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作犙； 全体实数组成的集合称为实数集，记作犚 ． 从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么 方式表示集合呢？ 列举法 “地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ； “方程狓２－３狓＋２＝０的所有实数根”组成的集合可以表示为｛１，２｝． 像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝”括起来表示集合的方 法叫做列举法． 例１ 用列举法表示下列集合： （１）小于１ ０的所有自然数组成的集合； （２）方程狓２＝狓的所有实数根组成的集合． 解：（１）设小于１ ０的所有自然数组成的集合为犃，那么 犃＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝． （２）设方程狓２＝狓的所有实数根组成的集合为犅，那么 犅＝｛０，１｝． 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同 的列举方法．例如，例１（１）的集合还可以写成 犃＝｛９，８，７，６，５，４，３，２，１，０｝ 等． （１）你能用自然语言描述集合｛０，３，６，９｝吗？ （２）你能用列举法表示不等式狓－７＜３的解集吗？ ３ 第一章 集合与常用逻辑用语 描述法 不等式狓－７＜３的解是狓＜１ ０，因为满足狓＜１ ０的实数有无数个，所以狓－７＜３的 解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：狓是实数，且 狓＜１ ０，把解集表示为 ｛狓∈犚｜狓＜１ ０｝． 你能用这样的方法表 示偶数集吗？ 又如，整数集犣可以分为奇数集和偶数集．对于每一个 狓∈犣，如果它能表示为狓＝２犽＋１（犽∈犣）的形式，那么狓除 以２的余数为１，它是一个奇数；反之，如果狓是一个奇数， 那么狓除以２的余数为１，它能表示为狓＝２犽＋１（犽∈犣）的形 式．所以，狓＝２犽＋１（犽∈犣）是所有奇数的一个共同特征， 于是奇数集可以表示为 ｛狓∈犣 ｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝． 有时也用冒号或分号 代替竖线，写成 ｛狓∈犃：犘（狓） ｝ 或 ｛狓∈犃；犘（狓） ｝． 一般地，设犃是一个集合，我们把集合犃中所有具有 共同特征犘（狓）的元素狓所组成的集合表示为 ｛狓∈犃｜犘（狓） ｝ ， 这种表示集合的方法称为描述法． 例如，实数集犚中，有限小数和无限循环小数都具有狇 狆 （狆，狇∈犣，狆≠０）的形式，这些数组成有理数集，我们将 它表示为 犙＝ ｛狓∈犚 ｜狓＝狇 狆， 狆，狇∈犣，狆≠０｝． 其中，狇 狆（ 狆，狇∈犣，狆≠０）就是所有有理数具有的共同特征． 显然，对于任何狔∈｛狓∈犃｜犘（狓） ｝ ，都有狔∈犃，且犘（ 狔）成立． 例２ 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （１）方程狓２－２＝０的所有实数根组成的集合犃； （２）由大于１ ０且小于２ ０的所有整数组成的集合犅． 解：（１）设狓∈犃，则狓是一个实数，且狓２－２＝０．因此，用描述法表示为 犃＝狓∈犚狓２－２＝０｛｝． 方程狓２－２＝０有两个实数根槡 ２，－槡 ２，因此，用列举法表示为 犃＝｛槡 ２，－槡 ２｝． （２）设狓∈犅，则狓是一个整数，即狓∈犣，且１ ０＜狓＜２ ０．因此，用描述法表示为 犅＝｛狓∈犣１ ０＜狓＜２ ０｝． 大于１ ０且小于２ ０的整数有１ １，１ ２，１ ３，１ ４，１ ５，１ ６，１ ７，１ ８，１ ９，因此，用列举 法表示为 犅＝｛１ １，１ ２，１ ３，１ ４，１ ５，１ ６，１ ７，１ ８，１ ９｝． ４ 第一章 集合与常用逻辑用语 我们约定，如果从上下文的关系看，狓∈犚，狓∈犣是明确的，那么狓∈犚，狓∈犣可 以省略，只写其元素狓．例如，集合犇＝｛狓∈犚｜狓＜１ ０｝也可表示为犇＝｛狓｜狓＜１ ０｝ ；集 合犈＝｛狓∈犣 ｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝也可表示为犈＝｛狓｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝． 举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点． １ ．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （１）与定点犃，犅等距离的点； （２）高中学生中的游泳能手． ２ ．用符号“∈”或“”填空： ０ 犖；－３ 犖；０ ．５ 犣；槡 ２ 犣；１ ３ 犙；π 犚． ３ ．用适当的方法表示下列集合： （１）由方程狓２－９＝０的所有实数根组成的集合； （２）一次函数狔＝狓＋３与狔＝－２狓＋６图象的交点组成的集合； （３）不等式４狓－５＜３的解集． 习题１ ．１ １ ．用符号“∈”或“”填空： （１）设犃为所有亚洲国家组成的集合，则 中国 犃，美国 犃，印度 犃，英国 犃； （２）若犃＝｛狓｜狓２＝狓｝ ，则－１ 犃； （３）若犅＝｛狓｜狓２＋狓－６＝０｝ ，则３ 犃； （４）若犆＝｛狓∈犖｜ １≤狓≤１ ０｝ ，则８ 犆，９ ．１ 犆． ２ ．用列举法表示下列集合： （１）大于１且小于６的整数； （２）犃＝｛狓｜（狓－１） （狓＋２）＝０｝ ； （３）犅＝｛狓∈犣 ｜－３＜２狓－１＜３｝． ５ 第一章 集合与常用逻辑用语 ３ ．把下列集合用另一种方法表示出来： （１）｛２，４，６，８，１ ０｝ ； （２）由１，２，３这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （３）｛狓∈犖｜ ３＜狓＜７｝ ； （４）中国古代四大发明． ４ ．用适当的方法表示下列集合： （１）二次函数狔＝狓２－４的函数值组成的集合； （２）反比例函数狔＝２ 狓的自变量组成的集合； （３）不等式３狓≥４－２狓的解集． 康托尔（Ｇ ｅ ｏ ｒ ｇＣ ａ ｎ ｔ ｏ ｒ， １ ８ ４ ５—１ ９ １ ８） ５ ．集合论是德国数学家康托尔于１ ９世纪末创立的．当时，康托尔在解决 涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的 “集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产 物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一” ，罗素描述其为 “可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简 短的报告阐述你对这些评价的认识． ６ 第一章 集合与常用逻辑用语 １ ２ 集合间的基本关系 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如 ５＝５，５＜７，５＞３，等等．两个集合之间是否也有类似的关 系呢？ 观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集 合之间的关系吗？ （１）犃＝｛１，２，３｝ ，犅＝｛１，２，３，４，５｝ ； （２）犆为立德中学高一（２）班全体女生组成的集合，犇为这个班全体学生组成 的集合； （３）犈＝｛狓｜狓是两条边相等的三角形｝ ，犉＝｛狓｜狓是等腰三角形｝． 可以发现，在（１）中，集合犃的任何一个元素都是集合犅的元素．这时我们说集合 犃包含于集合犅，或集合犅包含集合犃．（２）中的集合犆与集合犇也有这种关系． 一般地，对于两个集合犃，犅，如果集合犃中任意一 个元素都是集合犅中的元素，就称集合犃为集合犅的子集 （ｓ ｕ ｂ ｓ ｅ ｔ） ，记作 A B 图１ ．２１ 犃犅（或犅犃） ， 读作“犃包含于犅”（或“犅包含犃”）． 请你举出几个具有包 含关系、相等关系的集合 实例． 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集 合，这种图称为犞 犲 狀 狀图．这样，上述集合犃与集合犅的包 含关系，可以用图１ ．２１表示． 在（３）中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角 形，因此，集合犈，犉都是由所有等腰三角形组成的集合． 即集合犈中任何一个元素都是集合犉中的元素，同时，集 与实数中的结论“若 犪≥犫，且犫≥犪，则犪＝ 犫”相类比，你有什么 体会？ 合犉中任何一个元素也都是集合犈中的元素．这样，集合 犈的元素与集合犉的元素是一样的． 一般地，如果集合犃的任何一个元素都是集合犅的元 素，同时集合犅的任何一个元素都是集合犃的元素，那么 集合犃与集合犅相等，记作犃＝犅． 也就是说，若犃犅，且犅犃，则犃＝犅． ７ 第一章 集合与常用逻辑用语 你能举出几个空集的 例子吗？ 如果集合犃犅，但存在元素狓∈犅，且狓犃，就称 集合犃是集合犅的真子集（ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒｓ ｕ ｂ ｓ ｅ ｔ） ，记作 犃犅（或犅犃）． 例如，在（１）中，犃犅，但４∈犅，且４犃，所以 集合犃是集合犅的真子集． 我们知道，方程狓２＋１＝０没有实数根，所以方程狓２＋ １＝０的实数根组成的集合中没有元素． 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（ｅｍｐ ｔ ｙ ｓ ｅ ｔ） ，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 包含关系｛犪｝犃与属于关系犪∈犃有什么区别？试结合实例作出解释． 由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论： （１）任何一个集合是它本身的子集，即 犃犃； （２）对于集合犃，犅，犆，如果犃犅，且犅犆，那么犃犆． 例１ 写出集合｛犪，犫｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 解：集合｛犪，犫｝的所有子集为，｛犪｝ ，｛犫｝ ，｛犪，犫｝．真子集为，｛犪｝ ，｛犫｝． 例２ 判断下列各题中集合犃是否为集合犅的子集，并说明理由： （１）犃＝｛１，２，３｝ ，犅＝｛狓｜狓是８的约数｝ ； （２）犃＝狓｜狓是长方形｛｝，犅＝狓｜狓是两条对角线相等的平行四边形｛｝． 解：（１）因为３不是８的约数，所以集合犃不是集合犅的子集． （２）因为若狓是长方形，则狓一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合犃是 集合犅的子集． １ ．写出集合｛犪，犫，犮｝的所有子集． ２ ．用适当的符号填空： （１）犪 ｛犪，犫，犮｝ ； （２）０ ｛狓｜狓２＝０｝ ； （３） ｛狓∈犚 ｜狓２＋１＝０｝ ；（４）｛０，１｝ 犖； （５）｛０｝ ｛狓｜狓２＝狓｝ ；（６）｛２，１｝ ｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝． ８ 第一章 集合与常用逻辑用语 ３ ．判断下列两个集合之间的关系： （１）犃＝狓｜狓＜０｛｝ ，犅＝狓｜狓＜１｛｝ ； （２）犃＝｛狓｜狓＝３犽，犽∈犖｝ ，犅＝｛狓｜狓＝６狕，狕∈犖｝ ； （３）犃＝｛狓∈犖＋｜狓是４与１ ０的公倍数｝ ，犅＝｛狓｜狓＝２ ０犿，犿∈犖＋｝． 习题１ ．２ １ ．选用适当的符号填空： （１）若集合犃＝｛狓 ｜ ２ 狓－３＜３狓｝ ，犅＝｛狓｜狓≥２｝ ，则 －４ 犅，－３ 犃，｛２｝ 犅，犅 犃； （２）若集合犃＝｛狓｜狓２－１＝０｝ ，则 １ 犃，｛－１｝ 犃， 犃，｛ １，－１｝ 犃； （３）｛狓｜狓是菱形｝ ｛狓｜狓是平行四边形｝ ； ｛狓｜狓是等腰三角形｝ ｛狓｜狓是等边三角形｝． ２ ．指出下列各集合之间的关系，并用Ｖｅ ｎ ｎ图表示： 犃＝｛狓｜狓是四边形｝ ，犅＝｛狓｜狓是平行四边形｝ ，犆＝｛狓｜狓是矩形｝ ，犇＝｛狓｜狓是正方形｝． ３ ．举出下列各集合的一个子集： （１）犃＝｛狓｜狓是立德中学的学生｝ ； （２）犅＝｛狓｜狓是三角形｝ ； （３）犆＝｛０｝ ； （４）犇＝｛狓∈犣 ｜ ３＜狓＜３ ０｝． ４ ．在平面直角坐标系中，集合犆＝｛ （狓，狔）｜狔＝狓｝表示直线狔＝狓，从这个角度看，集合犇＝ （狓，狔） ２狓－狔＝１ 狓＋４狔＝５ 烅 烄 烆 烅 烄 烆 烍 烌 烎 表示什么？集合犆，犇之间有什么关系？ ５ ．（１）设犪，犫∈犚，犘＝｛１，犪｝ ，犙＝｛－１，－犫｝ ，若犘＝犙，求犪－犫的值； （２）已知集合犃＝｛狓｜０＜狓＜犪｝ ，犅＝｛狓｜１＜狓＜２｝ ，若犅犃，求实数犪的取值范围． ９ 第一章 集合与常用逻辑用语 １ ３ 集合的基本运算 我们知道，实数有加、减、乘、除等运算．集合是否也 有类似的运算呢？ 并集 观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合犆与集合犃，犅之间的 关系吗？ （１）犃＝｛１，３，５｝ ，犅＝｛２，４，６｝ ，犆＝｛１，２，３，４，５，６｝ ； （２）犃＝｛狓｜狓是有理数｝ ，犅＝｛狓｜狓是无理数｝ ，犆＝｛狓｜狓是实数｝． A B A B 图１ ．３１ 在上述两个问题中，集合犃，犅与集合犆之间都具有 这样一种关系：集合犆是由所有属于集合犃或属于集合犅 的元素组成的． 一般地，由所有属于集合犃或属于集合犅的元素组成 的集合，称为集合犃与犅的并集（ｕ ｎ ｉ ｏ ｎｓ ｅ ｔ） ，记作犃∪犅 （读作“犃并犅”） ，即 犃∪犅＝｛狓｜狓∈犃，或狓∈犅｝ ， 可用Ｖｅ ｎ ｎ图（图１ ．３１）表示． 这样，在问题（１）（２）中，集合犃与犅的并集是犆，即 犃∪犅＝犆． 在求两个集合的并集 时，它们的公共元素在并 集中只能出现一次．如元 素５，８． 例１ 设犃＝｛４，５，６，８｝ ，犅＝｛３，５，７，８｝ ，求犃∪犅． 解：犃∪犅＝｛４，５，６，８｝∪｛３，５，７，８｝ ＝｛３，４，５，６，７，８｝． 例２ 设集合犃＝｛狓｜－１＜狓＜２｝ ，集合犅＝｛狓｜ １＜狓＜３｝ ， 求犃∪犅． 解：犃∪犅＝｛狓｜－１＜狓＜２｝∪｛狓｜１＜狓＜３｝ ＝｛狓｜－１＜狓＜３｝． 如图１ ．３２，还可以利用数轴直观表示例２中求并集 ０ １ 第一章 集合与常用逻辑用语 犃∪犅的过程． 123x0-1 图１ ．３２ 下列关系式成立吗？ （１）犃∪犃＝犃；（２）犃∪＝犃． 交集 观察下面的集合，集合犃，犅与集合犆之间有什么关系？ （１）犃＝｛２，４，６，８，１ ０｝ ，犅＝｛３，５，８，１ ２｝ ，犆＝｛８｝ ； （２）犃＝｛狓｜狓是立德中学今年在校的女同学｝ ，犅＝｛狓｜狓是立德中学今年在校 的高一年级同学｝ ，犆＝｛狓｜狓是立德中学今年在校的高一年级女同学｝． 在上述两个问题中，集合犆是由所有既属于集合犃又属于 集合犅的元素组成的． AB A B 图１ ．３３ 一般地，由所有属于集合犃且属于集合犅的元素组成的集 合，称为集合犃与犅的交集（ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｓ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｅ ｔ） ，记作犃∩犅 （读作“犃交犅”） ，即 犃∩犅＝｛狓｜狓∈犃，且狓∈犅｝ ， 可用Ｖｅ ｎ ｎ图（图１ ．３３）表示． 这样，在上述问题（１） （２）中，犃∩犅＝犆． 例３ 立德中学开运动会，设 犃＝｛狓｜狓是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学｝ ， 犅＝｛狓｜狓是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学｝ ， 求犃∩犅． 解：犃∩犅就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成 的集合．所以， 犃∩犅＝｛狓｜狓是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝． １ １ 第一章 集合与常用逻辑用语 例４ 设平面内直线犾１上点的集合为犔１，直线犾２上点的集合为犔２，试用集合的运算 表示犾１，犾２的位置关系． 解：平面内直线犾１，犾２可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合． （１）直线犾１，犾２相交于一点犘可表示为 犔１∩犔２＝｛点犘｝ ； （２）直线犾１，犾２平行可表示为 犔１∩犔２＝； （３）直线犾１，犾２重合可表示为 犔１∩犔２＝犔１＝犔２． 下列关系式成立吗？ （１）犃∩犃＝犃；（２）犃∩＝． １ ．设犃＝｛３，５，６，８｝ ，犅＝｛４，５，７，８｝ ，求犃∩犅，犃∪犅． ２ ．设犃＝｛狓｜狓２－４狓－５＝０｝ ，犅＝｛狓｜狓２＝１｝ ，求犃∪犅，犃∩犅． ３ ．设犃＝｛狓｜狓是等腰三角形｝ ，犅＝｛狓｜狓是直角三角形｝ ，求犃∩犅，犃∪犅． ４ ．设犃＝｛狓｜狓是幸福农场的汽车｝ ，犅＝｛狓｜狓是幸福农场的拖拉机｝ ，求犃∪犅． 通常也把给定的集合 作为全集． 补集 在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围． 例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到 正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到 实数．在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充． 在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果．例如 方程（狓－２） （狓２－３）＝０的解集，在有理数范围内只有一个 解２，即 ｛狓∈犙 ｜（狓－２） （狓２－３）＝０｝＝｛２｝ ； 在实数范围内有三个解：２，槡 ３，－槡 ３，即 ｛狓∈犚 ｜（狓－２） （狓２－３）＝０｝＝｛２，槡 ３，－槡 ３｝． 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元 素，那么就称这个集合为全集（ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅｓ ｅ ｔ） ，通常记作犝． ２ １ 第一章 集合与常用逻辑用语 A U A 图１ ．３４ 对于一个集合犃，由全集犝中不属于集合犃的所有元素组成 的集合称为集合犃相对于全集犝的补集（ｃ ｏｍｐ ｌ ｅｍｅ ｎ ｔ ａ ｒ ｙｓ ｅ ｔ） ， 简称为集合犃的补集，记作瓓犝犃，即 瓓犝犃＝｛狓｜狓∈犝，且狓犃｝ ， 可用Ｖｅ ｎ ｎ图（图１ ．３４）表示． 例５ 设犝＝｛狓｜狓是小于９的正整数｝ ，犃＝｛１，２，３｝ ，犅＝｛３，４，５，６｝ ，求瓓犝犃， 瓓犝犅． 解：根据题意可知，犝＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝ ，所以 瓓犝犃＝｛４，５，６，７，８｝ ， 瓓犝犅＝｛１，２，７，８｝． 例６ 设全集犝＝｛狓｜狓是三角形｝ ，犃＝｛狓｜狓是锐角三角形｝ ，犅＝｛狓｜狓是钝角三 角形｝ ，求犃∩犅，瓓犝（犃∪犅）． 解：根据三角形的分类可知 犃∩犅＝， 犃∪犅＝｛狓｜狓是锐角三角形或钝角三角形｝ ， 瓓犝（犃∪犅）＝｛狓｜狓是直角三角形｝． １ ．已知犝＝｛１，２，３，４，５，６，７｝ ，犃＝｛２，４，５｝ ，犅＝｛１，３，５，７｝ ，求犃∩（瓓犝犅） ，（瓓犝犃）∩（瓓犝犅）． ２ ．设犛＝｛狓｜狓是平行四边形或梯形｝ ，犃＝｛狓｜狓是平行四边形｝ ，犅＝｛狓｜狓是菱形｝ ，犆＝｛狓｜狓是矩 形｝ ，求犅∩犆，瓓犛犅，瓓犛犃． ３ ．图中犝是全集，犃，犅是犝的两个子集，用阴影表示： （１）（瓓犝犃）∩（瓓犝犅） ； （２）（瓓犝犃）∪（瓓犝犅）． AB 8 AB 8 （１）（２） （第３题） ３ １ 第一章 集合与常用逻辑用语 习题１ ．３ １ ．集合犃＝｛狓｜ ２≤狓＜４｝ ，犅＝｛狓 ｜ ３ 狓－７≥８－２狓｝ ，求犃∪犅，犃∩犅． ２ ．设犃＝｛狓｜狓是小于９的正整数｝ ，犅＝｛１，２，３｝ ，犆＝｛３，４，５，６｝．求犃∩犅，犃∩犆， 犃∩（犅∪犆） ，犃∪（犅∩犆）． ３ ．学校开运动会，设犃＝｛狓｜狓是参加１ ０ ０ｍ跑的同学｝ ，犅＝｛狓｜狓是参加２ ０ ０ｍ跑的同学｝ ， 犆＝｛狓｜狓是参加４ ０ ０ｍ跑的同学｝ ，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比 赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义： （１）犃∪犅； （２）犃∩犆． ４ ．已知集合犃＝｛狓｜ ３≤狓＜７｝ ，犅＝｛狓｜ ２＜狓＜１ ０｝ ，求瓓犚（犃∪犅） ，瓓犚（犃∩犅） ，（瓓犚犃）∩犅， 犃∪（瓓犚犅）． ５ ．设集合犃＝｛狓｜（狓－３） （狓－犪）＝０，犪∈犚｝ ，犅＝｛狓｜（狓－４） （狓－１）＝０｝ ，求犃∪犅，犃∩犅． ６ ．已知全集犝＝犃∪犅＝｛狓∈犖｜ ０≤狓≤１ ０｝ ，犃∩（瓓犝犅）＝｛１，３，５，７｝ ，试求集合犅． ４ １ 第一章 集合与常用逻辑用语 集合中元素的个数 ｃ ａ ｒ ｄ是英文ｃ ａ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｌ （基数）的缩写． 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个 数问题．我们把含有限个元素的集合犃叫做有限集， 用ｃ ａ ｒ ｄ（犃）来表示有限集合犃中元素的个数．例 如，犃＝｛犪，犫，犮｝ ，则ｃ ａ ｒ ｄ（犃）＝３． 看一个问题．某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔 记本、方便面、汽水共６种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共 ４种，两次一共进了几种货？ 回答两次一共进了１ ０（＝６＋４）种，显然是不对的．让我们试着从集合的角度 考虑这个问题． 用集合犃表示第一次进货的品种，用集合犅表示第二次进货的品种，就有 犃＝｛圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水｝ ， 犅＝｛圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面｝． 这里ｃ ａ ｒ ｄ（犃）＝６，ｃ ａ ｒ ｄ（犅）＝４ ．求两次一共进了几种货，这个问题指的是求 ｃ ａ ｒ ｄ（犃∪犅）．这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是 ｃ ａ ｒ ｄ（犃∩犅）．ｃ ａ ｒ ｄ（犃） ，ｃ ａ ｒ ｄ（犅） ，ｃ ａ ｒ ｄ（犃∪犅） ，ｃ ａ ｒ ｄ（犃∩犅）之间有什么关 系呢？ 可以算出 ｃ ａ ｒ ｄ（犃∪犅）
