期末卷09 备战2021年高三数学期末全真模拟卷（八省新高考地区专版）（解析版）.docx

1 / 25 2021 年高三数学期末全真模拟卷 09 （新高考地区专用） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟，试题共 23 题答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自 己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1 下列四个命题：下列四个命题： 1 ln2 2 ， 2 ln2 e ， 220.20.2 log0.4 log 0.4log0.4 log 0.4， 1331 log 7log 13， 其中真命题为（其中真命题为（ ） A B C D 【答案】【答案】B 【分析】 根据对数函数的运算以及对数函数的性质，逐个分析判断，即可得解. 【详解】 由2ln2ln4ln1e，故正确； 由 2ln2ln ln2 2 e ee ， 考察函数 ln x y x ， 2 1ln x y x ， 所以当0,xe时，0y ，即y在0,e上单调递增， 当,xe时，0y，即y在, e 上单调递减， 所以xe时，y取到最大值 1 e ，所以 ln2ln 2 e e ，故错误； 令 0.2 log0.4a ， 2 log 0.4b ， 所以 0.40.40.4 11 log0.2log2log0.41 ab ， 2 / 25 所以abab ， 即 220.20.2 log0.4 log 0.4log0.4 log 0.4，故正确； 由 43 72401219713 ，所以 13 3 log 7 4 ， 由 43 13285612979131 ，所以 31 3 log 13 4 ，故错误， 故选：B. 【点睛】 本题考查了对数的运算和对数的比较大小，考查了构造法和转化思想，计算量较大，属于较难题. 2已知已知 ( )f x是奇函数，当 是奇函数，当0 x时，时，( ) 2 x f x x ，则函数在，则函数在1x处的切线方程是（处的切线方程是（ ） A2 10 xy B220 xy-+= C20 xy D20 xy 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 先求出当0 x时的解析式，然后利用导数求出1x处的切线斜率，以及切点坐标，从而求出切线方程. 【详解】 当0 x时，0 x ， 2 x fx x ， 2 2 (0),( ) 2(2) x f xxfx xx ， 12kf，切点为1, 1 ，切线方程为121yx 切线方程为210 xy 故选 A 【点睛】 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力 3 已知已知 , ,A B C D是同一球面上的四个点， 其中 是同一球面上的四个点， 其中ABC是正三角形，是正三角形，AD 平面平面ABC，26ADAB， 则该球的体积为（则该球的体积为（ ） A48 B24 C16 D32 3 【答案】【答案】D 3 / 25 【分析】 根据球的性质可知球心O与ABC外接圆圆心 O 连线垂直于平面ABC； 在R t P O E和Rt OOA中利用 勾股定理构造出关于半径R和 OO 的方程组，解方程组求得R，代入球的体积公式可得结果. 【详解】 设 O 为ABC的外心，如下图所示： 由球的性质可知，球心O与 O 连线垂直于平面ABC，作OEAD于E 设球的半径为R，OOx ABC为等边三角形，且 3AB 3 AO OO平面ABC，AD 平面ABC，OE AD OOAEx，3OE AO 在Rt POE和Rt OOA中，由勾股定理得： 22222 OEPEO OO AR，即 2 22 363xxR 解得：3x ，2 3R 球的体积为： 3 4 32 3 3 VR 本题正确选项：D 【点睛】 本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用 勾股定理构造方程求得半径. 4对于实数对于实数x，y，若，若 p： ：4x或或1y ，q：5xy，则，则 p是 是q的（的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 4 / 25 【答案】【答案】B 【分析】 取特殊值6x，1y ,可知 pq，利用逆否命题与原命题等价，可确定 qp, 即可得出结论. 【详解】 取6x，1y ，满足条件p,此时5xy，即 pq，故p是q的不充分条件， q： 5xyp： 4x或 1y 等价于 4x且 15yxy ，易知成立，所以p是q的必要条件. 故答案选 B. 【点睛】 本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题. 5过点过点 P（1，3）且在）且在 x轴上的截距和在轴上的截距和在 y轴上的截距相等的直线方程为 轴上的截距相等的直线方程为( ) Ax+y4=0 B3x-y=0 Cx+y4=0 或或 3x+y=0 Dx+y4=0 或或 3x-y=0 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 直线在 x轴上的截距和在 y 轴上的截距相等， 可分为两种情况： 截距都为 0 和截距都不为 0， 分别求出即可。 【详解】 若直线过原点，设直线方程为 y=kx，把点 P（1，3）代入得 k=3，此时直线为 y=3x，即 3xy=0 若直线不经过原点， 设直线方程为 x a + y a =1， 即 x+y=a 把点 P（1，3） 代入得 a=4， 所以直线方程为 x+y=4， 即 x+y4=0，故选 D 【点睛】 本题考查了直线的方程，尤其是截距式，属于基础题。 6已知函数已知函数 ( ) x yf xaa （0a且且1a ）的图像可能为（）的图像可能为（ ） A B 5 / 25 C D 【答案】【答案】C 【分析】 解法一:分别画出1a 和0 1a两种情况= x yaa图像.检验那个选项符合即可. 解法二: 根据1a 和0 1a两种情况讨论求解,求解时可以采用特殊值法,即当1a ,不妨取=2a,则 ( )22 x yf x,可以观察在 1x和1x下y的取值范围,观察选项即可得出答案. 当0 1a时,也按照 1a 的方法处理. 【详解】 解法一:当1a 时= x yaa的图像为 故 C 正确. 当0 1a时= x yaa 的图像为: 解法二: 当1a ,不妨取=2a,则( )22 x yf x 1x,y取值范围是: 0y 1x,y取值范围是:0 2 y. =0 x, =1y 6 / 25 结合着 3个条件可知选项:C符合题意. 当0 1a,不妨取 1 = 2 a,则 11 () 2 ) 2 ( x yf x 1x,y取值范围是: 1 0 2 y 0y. =0 x, 1 = 2 y 没有选项同时符合这 3个条件. 故选:C. 【点睛】 本题考查了指数函数图像,与绝对值函数图像.处理加上绝对值函数图像时,要掌握先画原函数图像,在将函数 在x轴下方的图像对称到x轴上方, x轴下方图像去掉,这是解决此题的关键.合理使用特殊值法可以简化计 算. 7一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m） ，则该几何体的体积和表面积分别为（ ） ，则该几何体的体积和表面积分别为（ ） A 32 ,3mm B 32 3 ,4 4 mm C 32 ,4mm D 32 3 ,3 4 mm 【答案】【答案】C 【分析】 结合三视图，还原直观图，利用体积计算公式，即可 7 / 25 【详解】 该几何体是一个半径为 1 的球体削去四分之一，体积为 3 34 43 r，表面积为 22 3 44 4 rr. 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图问题，发挥空间想象能力，结合体积计算公式，即可 8已知函数已知函数 ( )f x是定义在 是定义在R上的奇函数，且上的奇函数，且0 x时，时，( )(1) x f xex. .给出下列命题给出下列命题: : 当当0 x时时( )(1) x f xex ； 函数函数 ( )f x有三个零点； 有三个零点； ( )0f x 的解集为的解集为( 1,0)(1,)-?； 12 ,x xR都有都有 12 ( )()2f xf x. .其中正确的命题有其中正确的命题有( )( ) A1 1 个个 B2 2 个个 C3 3 个个 D4 4 个个 【答案】【答案】D 【分析】 先求出0 x时， 1 x f xex， 从而可判断正确； 再根据 (1),0 0,0 (1),0 x x exx f xx exx 可求 0f x 及 0f x 的解，从而可判断正确，最后依据导数求出函数的值域后可判断正确. 【详解】 因为函数 f x是定义在R上的奇函数，且0 x时， 1 x f xex. 所以当0 x时，0 x ，故 11 xx f xfxexxe ，故正确. 所以 (1),0 0,0 (1),0 x x exx f xx exx ，当1,0,1x 时， 0f x 即函数 f x有三个零点，故正确. 不等式 0f x 等价于 0 (1)0 x x ex 或 0 (1)0 x x ex ， 解不等式组可以得10 x 或1x ，所以解集为1,01,，故正确. 当0 x时， 1 x f xxe， 12 xxx fxexex e ， 8 / 25 当02x时， 0fx ，所以 f x在0,2上为增函数； 当2x 时， 0fx ，所以 f x在0,2上为减函数； 所以当0 x时 f x的取值范围为 2 1,e，因为 f x为R上的奇函数， 故 f x的值域为 1,1 ，故 12 ,x xR都有 12 2f xf x，故正确. 综上，选 D. 【点睛】 （1）对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用 f xfx或 f xfx来求其另一侧的函数的解析式，注意设所求的那一侧的函数的自变量为x. （2）对于偶函数 f x ，其单调性在两侧是相反的，并且 f xfxfx，对于奇函数 g x ， 其单调性在两侧是相同的 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）选错不得分，选对部分得分）选错不得分，选对部分得 3 3 分，全对得分，全对得 5 5 分分 9下列命题的否定为假命题的是（下列命题的否定为假命题的是（ ） ） A任何一个平行四边形的对边都平行任何一个平行四边形的对边都平行 B非负数的平方是正数非负数的平方是正数 C有的四边形没有外接圆有的四边形没有外接圆 D, x y Z，使得 ，使得23xy E.任何方程都有解任何方程都有解 【答案】【答案】ACD 【分析】 A：根据平行四边形定义做判断； B：考虑特殊值0，然后判断； C：根据四边形有外接圆的条件：对角互补，作出判断； D：先判断原命题，然后得到命题的否定的真假； E：考虑含参数的方程或者的一元二次方程等. 【详解】 A 中命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”， 由平行四边形的定义知 A中命题的否定是假命题； B中命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”，因为 2 00，不是正数，所以 B中命题的否定是真 命题； 9 / 25 C中命题的否定为“所有四边形都有外接圆”， 因为只有对角互补的四边形才有外接圆， 所以原命题为真命题， 所以命题的否定为假命题； D 中命题的否定为“, x yZ，都有23xy”，因为当0 x，3y 时，23xy，所以原命题为 真命题，命题的否定为假命题； E中，如方程20ax，当0a时，该方程无解，所以原命题为假命题，其否定为真命题 故选 ACD 【点睛】 本题考查全称命题、特称命题的否定的真假判断，难度一般.判断命题的否定的真假，可以通过写出命题的 否定然后判断真假，也可以通过先判断原命题的真假然后再得到命题的否定的真假. 10 （多选）下列命题中正确的是（多选）下列命题中正确的是（ ） A 1 0yxx x 的最大值是的最大值是2 B 2 2 3 2 x y x 的最小值是的最小值是 2 C 4 230yxx x 的最大值是的最大值是2 4 3 D 2 2 3 2 x y x 有最大值有最大值. 【答案】【答案】AC 【分析】 对 A，结合基本不等式变形即可得证；对 B， 2 2 22 31 2 22 x yx xx ，最值取不到，可判断错 误；对 C，整理变形成基本不等式可判断正确；对 D，结合对勾函数特点判断无最大值 【详解】 11 2yxx xx ，当且仅当1x时，等号成立.所以 A正确； 2 2 22 31 22 22 x yx xx ，取不到最小值 2（等号取不到） ，所以 B错误； 44 2302324 3yxxx xx ，当且仅当 4 3x x 时，等号成立，所以 C 正确； 10 / 25 2 2 22 3115 22= 22 22 x yx xx ，0 x时取到，故无最大值，所以 D 错误； 故选：AC. 【点睛】 本题考查基本不等式最值得求解与判断，易错点为忽略等号成立的条件，属于中档题 11 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆， 如图所示， 已知它的近地点 为一个焦点的椭圆， 如图所示， 已知它的近地点A（离（离 地面最近的点）距地面地面最近的点）距地面m千米，远地点千米，远地点B（离地面最远的点）距地面（离地面最远的点）距地面n千米，并且千米，并且FA B、 、三点在同一三点在同一 直线上，地球半径约为直线上，地球半径约为R千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为2 2 2a b c、 、，则（，则（ ） Aa cmR BacnR C2am n D()()bmR nR 【答案】【答案】ABD 【分析】 根据条件数形结合可知 macR nacR ，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】 因为地球的中心是椭圆的一个焦点， 并且根据图象可得 macR nacR ， （*） a cmR ，故 A正确； acnR ，故 B正确； （*）两式相加22m naR，可得22am nR ，故 C 不正确； 由（*）可得 mRac nRac ，两式相乘可得 22 mRnRac 222 acb ， 2 bmRnRbmRnR ，故 D 正确. 11 / 25 故选 ABD 【点睛】 本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和 远地点的方程，然后变形化简. 12给定数集给定数集 M，若对于任意，若对于任意 , a bM，有，有a bM+?，且，且abM ，则称集合，则称集合 M 为闭集合则下列说为闭集合则下列说 法中不正确的是（法中不正确的是（ ） A集合集合 4, 2,0,2,4M 为闭集合为闭集合 B正整数集是闭集合正整数集是闭集合 C集合集合 |3 ,Mn nk kZ为闭集合为闭集合 D若集合若集合 1 A， 2 A为闭集合，则 为闭集合，则 12 AA为闭集合为闭集合 E.若集合若集合 1 A， 2 A为闭集合，且 为闭集合，且 1 A R， 2 A R，则一定存在，则一定存在cR，使得，使得 12 cAA 【答案】【答案】ABDE 【解析】【解析】 【分析】 根据闭集合的新定义判断，既要符合abM+?，又要符合abM ，结合具体的集合加以辨别即可 【详解】 对于 A，因为4M-?，2M ，但4( 2)6M ，故集合 M 不是闭集合，故 A说法不正确； 对于 B，因为1 N，2 N，但121 N，所以正整数集不是闭集合，故 B 说法不正确； 对于 C，因为任意两个 3的倍数，它们的和，差仍是 3的倍数，故集合 |3 ,n nk kZ是闭集合，故 C 说法正确； 对于 D， 假设 1 |3 ,An nk kZ， 2 |5 ,An nk kZ， 1 3A， 2 5A， 但是 12 35AA ， 所以 12 AA不是闭集合，故 D 说法不正确； 对于 E，设集合 1 |3 , An nk kZ， 2 A R，都为闭集合，找不出 12 cAA故 E说法不正确 故选 ABDE 【点睛】 本题考查集合新定义的概念理解，结合具体集合辨析是否符合新定义，属于中档题 12 / 25 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13已知函数已知函数 3 ( )32f xxxmm，0,2x，若，若 maxmin ( )( )3f xf x，则，则m_______ 【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】 【分析】 令 3 3g xxx， 求导得 g x在0,1上单调递减， 在1,2上单调递增， 得 22,12,00ggg, 按 22mg， 122 21gmgmg， 分3种情况进行讨论，求 f x的最大值和最小值即可. 【详解】 令 3 3g xxx，则 2 33311g xxxx， 易知函数 3 3g xxx在0,1上单调递减，在1,2上单调递增， 且 22,12,00ggg，故 12gg xg. 当 222mg，即1m时， min 232f xfm， max 132f xfm， 此时 maxmin 4f xf x，不合题意，舍去； 当 122gmg， 即11m 时， minf xm， max max132,22f xfmfm， 若322mm ，即0m，则323mm ，解得 1 2 m ； 若322mm ，即0m，则23m m，解得 1 2 m ； 当 21mg，即1m时， min 12f xfm， max 22f xfm， 此时 maxmin 4f xf x，不合题意，舍去. 综上所述， 1 2 m . 故答案为： 1 2 【点睛】 本题考查了函数求最值的问题，也考查了去掉绝对值的方法，分类讨论的思想，属于中档题. 14点点M 2,1到抛物线到抛物线 2 yax准线的距离为准线的距离为 2 2，则，则a的值为的值为______ 13 / 25 【答案】【答案】 1 4 或 1 12 【解析】【解析】 【分析】 求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可 【详解】 抛物线 2 yax的标准方程为： 2 1 xy a ，准线方程为： 1 y 4a ， 1 12 4a ，解得 1 a 4 或 1 12 故答案为 1 4 或 1 . 12 【点睛】 本题考查抛物线方程，简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题 15直线直线l： 2xmy经过抛物线经过抛物线C： 2 2ypx（ 0p ）的焦点）的焦点F，与抛物线相交于，与抛物线相交于A，B两点，过两点，过 原点的直线经过弦原点的直线经过弦AB的中点的中点D，并且与抛物线交于点，并且与抛物线交于点E（异于原点） ，则（异于原点） ，则 OE OD 的取值范围是的取值范围是______. 【答案】【答案】(2,) 【分析】 根据题意， 即可求得抛物线方程； 联立2xmy与抛物线方程， 利用韦达定理， 求得点D的坐标， 故OD 可用m表示；同理设出直线OD方程，联立抛物线方程，得到E点坐标，即可将OE用m表示，据此可将 目标式转化为m的函数，求函数值域即可. 【详解】 根据题意，作图如下： 14 / 25 因为2xmy经过抛物线C： 2 2ypx（ 0p ）的焦点F 故可得2,0F，则4p ， 故可得抛物线方程为 2 8yx. 联立直线2xmy与抛物线方程 2 8yx 可得 2 8160ymy， 设 1122 ,A x yB x y， 故可得 1212 8 ,16yym y y ， 2 1212 484xxm yym， 则AB中点坐标为 2 42,4Dmm， 设直线OD方程为ykx， 故可得 2 442mkm，解得 2 2 21 m k m ， 联立直线ykx与抛物线 2 8yx， 可得 22 8k xx，解得 2 8 x k ， 即点 2 88 ,E kk . 则 2 42 422 646442 481 m OEmm kkm ， 15 / 25 2 2242 42162 481ODmmmm 故可得 2 22 211 2 OEm ODmm ， 又因为 2 0m ，故可得 2 1 0 m ， 则 2, OE OD . 故答案为：2,. 【点睛】 本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中的范围问题，属综合性困难题. 16已知函数已知函数 x 41,x 0 2 f x4x8x,x0 ，若存在唯一的整数，若存在唯一的整数 x x，使得不等式，使得不等式 f xa 0 x 成立，则实数成立，则实数 a a 的取值范围是的取值范围是______ 【答案】【答案】 0,34,15 【分析】 根据解析式作出函数图像，分两种情况讨论：当x0时和当x0时，分别求出a的范围即可得出结果. 【详解】 根据题意，函数 x 41,x 0 2 f x4x8x,x0 ，其图象如图： 分 2种情况讨论： ，当x0时， f xf 14， 若存在唯一的整数 x，使得不等式 f xa 0 x 成立，即 f xa0 有唯一的整数解， 又 f 20，则此时有0a4 ，当x0时，则 f xf 00， 若存在唯一的整数 x，使得不等式 f xa 0 x 成立，即 f xa0 有唯一的整数解， 16 / 25 又由f13，f215， 则此时有3a15， 综合可得：0a3或4a15； 则 a的取值范围为 0,34,15 ； 故答案为 0,34,15 【点睛】 本题主要考查分段函数的图像和性质，通常需要用到分类讨论的思想来处理，属于常考题型. 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 7 小题，共小题，共 7070 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 17在在ABC中，内角中，内角A BC， ，的对边分别为的对边分别为abc， ，且 ，且3c ，22 cosb caC . . （1 1）求）求A； （2 2）点）点M在在BC边上，且边上，且BMAB，34 AMCAMB SS ，求，求, a b. . 【答案】【答案】(1) 2 3 A .(2) 7,5ab. 【分析】 (1)本题首先可通过边角互换将22 cosb caC 转化为2sinsin2sincosBCAC，然后将其化简为 sin(2cos1)0CA ，即可计算出cosA的值，最后得出结果； (2)通过3 4 AMCAMB SS可以计算出CM的长度，然后借助余弦定理即可得出结果 【详解】 （1）因为22 cosb caC ，所以2sinsin2sincosBCAC， 即2sin()sin2sincosACCAC，整理得sin(2cos1)0CA， 17 / 25 因为sin0C ，所以 1 cos 2 A ，解得 2 3 A . （2）由题意得，3cBABM， 因为34 AMCAMB SS，所以 4CM ，即7aBCAMBM， 由余弦定理可知 222 2cosabcbcA，即 2 4939bb， 解得5,8bb （舍去） ，即7,5ab. 【点睛】 本题考查三角函数的相关性质， 主要考查解三角形的相关性质， 考查了正弦定理以及余弦定理的灵活应用， 考查了推理能力，是中档题 18已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且，且S Sn n 2 3 2 nn （n nN*N*） ，正项等比数列） ，正项等比数列 b bn n 满足满足b b1 1a a1 1，b b5 5a a6 6 （）求数列）求数列 a an n 与与 b bn n 的通项公式；的通项公式； （）设）设 n na an n b bn n，求数列，求数列 n n 的前的前n n项和项和T Tn n 【答案】【答案】 （）32 n an， 1 2n n b （）5(35) 2n n Tn 【分析】 （）利用 n S法直接求 n a，再由b1a1，b5a6求出q，从而求得 n b （）利用乘公比错位相减法求解即可 【详解】 （）当2n时 1nnn aSS ， 2 2 3113 22 nnnn 32n， 当1n 时， 11 1aS也适合上式, 32 n an. 1 1b ， 5 16b . 设数列 n b的公比为q，则 4 16q . 18 / 25 0q ，2q ， 1 2n n b （）由（1）可知， 1 322n n cn ， 12nn Tccc 221 1 4 27 235 232 2 nn nn ， 21 21 24 235 232 2 nn n Tnn 由得， 21 1 3222322 nn n Tn 1 222 1 3322 1 2 n n n 535 2n n Tn . 【点睛】 （1）本题主要考查了赋值法及 n S法求通项公式， 即 1 1 1 2 n nn Sn a SSn ,还考查了等比数列的通项公式 （2）利用错位相减法求和， 注意相减时项的符号， 求和时项数的确定， 最后不要忘记除 1-q，在写出“ n S” 与“ n qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ nn SqS”的表达式 19已知已知, ,a b cR，函数，函数 ( ) |1|f xx （1）解不等式）解不等式( )(25)9f afaa； （2）若）若| 1,| 1,0aba.求证：求证：() |( ) b f aba f a . 【答案】【答案】 （1）, 33, （2）证明见解析 【分析】 （1）化简不等式( )(25)9f afaa，然后按照零点分段法去绝对值，解不等式求得a的取值范围. （2）将所要证明的不等式() |( ) b f aba f a ，转化为证明1| |abab，也即证 22 | 1|abab，利 用差比较法证得这个不等式成立，由此证得原不等式成立. 【详解】 19 / 25 解：(1) 25f afa 1249aaa 当2a时,不等式为4123aa, 3a ； 当21a 时,不等式为59,不成立； 当1a 时,不等式为263aa, 3a , 综上所述,不等式的解集为, 33, ； （2）() |( ) b f aba f a ，即1| |abab因为| 1a ，| 1b ， 所以 22222222 |1|(21)(2)(1)(1)0ababa babaabbab， 所以1| |abab故所证不等式成立 【点睛】 本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，主要是零点分段法和平方法，考查证明不等式成立的方法， 考查比较大小的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 20已知向量已知向量cos2 ,mx a， ,23sin2nax，函数，函数 5,0f xm naR a （1）当函数）当函数 f x在在0, 2 上的最大值为上的最大值为 3 时，求时，求a的值；的值； （2）在（）在（1）的条件下，若对任意的）的条件下，若对任意的tR，函数，函数 yf x，,xt tb的图像与直线的图像与直线1y 有且仅有有且仅有 两个不同的交点，试确定两个不同的交点，试确定b的值，并求函数的值，并求函数 yf x在在0,b上的单调递减区间上的单调递减区间. 【答案】【答案】 （1）2a（2）b的值为；单调递减区间为 2 , 63 【分析】 （1）根据向量的数量积、辅助角公式化简函数 ( )f x，再对a时行分类讨论，即可得到答案； （2）根据题意可得直线1y 为图象的平衡位置，由图像与直线1y 有且仅有两个不同的交点，所以 b，再求出函数的单调递减区间与 【详解】 （1） 5cos23 sin225f xm naxaxa2 sin 225 6 axa ， 20 / 25 0, 2 x 时， 7 2, 666 x ， 1 sin 2,1 62 x 当0a时， f x的最大值为453a ，所以2a； 当0a 时， f x的最大值为53a ，故8a （舍去） 综上：函数 f x在0, 2 上的最大值为 3时，2a （2）当2a时， 4sin 21 6 yf xx ， yf x的最小正周期为，可知b的值为. 由 3 222, 262 kxkkZ ，得 2 , 63 kxkkZ . 因为(0, x，所以0k ， 函数 yf x在(0,上的单调递减区间为 2 , 63 . 【点睛】 本题考查向量的数量积、辅助角公式、三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、 分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21已知等差数列已知等差数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且，且 16 16aa， 3 15S . （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）若）若 1 1 nn n nn SS b SS ，求数列，求数列 n b的前的前n项和项和 n T . 【答案】【答案】 （1）21 n an（2） 11 (1)(3)3 n T nn 【分析】 (1)用基本量法求解首项与公差即可算得通项公式 (2)由 1 11 11 nn n nnnn SS b SSSS ,裂项相消后代入 n S即可. 【详解】 21 / 25 解：(1)设数列 n a的公差为d,则 1 1 2516 3315 ad ad ,解得 1 3a , 2d , 21 n an. (2)由(1)知 12 321 S2 22 n n n aann nn , 1 11 11 nn n nnnn SS b SSSS , 12 21321 111111 nn nn Tbbb SSSSSS 11 1111 (1)(3)3 n SSnn . 【点睛】 本题主要考查基本量法求等差数列的方法以及简单的裂项相消问题,属于基础题型. 22我国古代数学名著九章算术中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于我国古代数学名著九章算术中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于 底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱. （1）某堑堵的三视图，如图）某堑堵的三视图，如图 1，网格中的每个小正方形的边长为，网格中的每个小正方形的边长为 1，求该堑堵的体积；，求该堑堵的体积； （2）在堑堵）在堑堵 111 ABCABC中，如图中，如图 2，ACBC，若，若 1 2A AAB ，当阳马，当阳马 11 BAAC C 的体积最大时，的体积最大时， 求二面角求二面角 11 CABC 的大小的大小. 【答案】【答案】 （1）2； （2） 4 3 V ，arcsin 2 2 3 （或 arccos 1 3 ）. 【解析】【解析】 【分析】 （1）由三视图还原原几何体，再由棱柱体积公式求解； 22 / 25 （2）阳马 BA1ACC1的体积 V 11 11 33 A ACC SBC 矩形 A1AACBC 2 3 ACBC 1 3 （AC2+BC2） 1 3 AB2 4 3 ，当且仅当 ACBC 2 时， 4 3 max V，以 C为原点，CB为 x轴，CA为 y轴，CC1为 z轴，建立 空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角 【详解】 （1）由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为 2， 直三棱柱的高为 2， 则其体积为 V 1 2222 2 ； （2）A1AAB2，阳马 BA1ACC1的体积： V 11 11 33 A ACC SBC 矩形 A1AACBC 2 3 ACBC 1 3 （AC2+BC2） 1 3 AB2 4 3 ， 当且仅当 ACBC 2 时， 4 3 max V， 以 C 为原点，CB为 x轴，CA 为 y 轴，CC1为 z轴，建立空间直角坐标系， 则 A1（0， 2，2） ，B（2，0，0） ，C1（0，0，2） ， 1 CA （0， 2，2） ，CB（2，0，0） ， 11 C A （0， 2，0） ， 1 C B （ 2，0，2） ， 设平面 CA1B 的法向量n （x，y，z） ， 则 1 220 20 n CAyz n CBx ，取 y 2 ，得n （0， 2，1） ， 设平面 C1A1B的法向量m（a，b，c） ， 则 11 1 20 220 m C Ab m C Bac ，取 a 2 ，得m（ 2，0，1） ， 23 / 25 设当阳马 BA1ACC1体积最大时，二面角 CA1BC1的平面角为 ， 则 cos 11 333 m n m n ， 当阳马 BA1ACC1体积最大时，二面角 CA1BC1的大小为 arccos 1 3 【点睛】 本题考查由三视图求面积、体积，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利 用空间向量求解空间角，是中档题 23如图，如图，O为坐标原点，椭圆为坐标原点，椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为的左，右焦点分别为 12 ,F F，离心率为，离心率为 1 e，双，双 曲线曲线 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为的左，右焦点分别为 3 F， 4 F，离心率为，离心率为 2 e，已知，已知 1 2 2 2 3 e e ， 14 22FF （1）求）求 1 C， 2 C的方程；的方程； （2）过）过 1 F作作 1 C的不垂直于的不垂直于y轴的弦轴的弦AB，M为弦为弦